Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點M（1，—3）、N（5，1），若動點C滿足交于A、B兩點。

   （I）求證：；

（2）在x軸上是否存在一點，使得過點P的直線l交拋物線于D、E兩點，并以線段DE為直徑的圓都過原點。若存在，請求出m的值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ） 見解析   （Ⅱ）存在m=4

解析:

（I）解：由

知點C的軌跡是過M，N兩點的直線，故點C的軌跡方程是：

   （II）解：假設存在于D、E兩點，并以線段DE為直徑的圓都過原點。設

    由題意，直線l的斜率不為零，  所以，可設直線l的方程為

                                 

  代入 …………7分

10分

  

  此時，以DE為直徑的圓都過原點。 …………12