Question

【題目】對于無窮數列，，若，，則稱是的“收縮數列”.其中，分別表示中的最大數和最小數.已知為無窮數列，其前項和為，數列是的“收縮數列”.

（1）若，求的前項和；

（2）證明：的“收縮數列”仍是；

（3）若且，，求所有滿足該條件的.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3），.

【解析】

（1）根據可得為遞增數列，從而可得，利用等差數列求和公式可得結果；（2）可證得，即，則可知，可證得結論；（3）令猜想可得，，整理可知此數列滿足題意；利用反證法可證得不存在數列不滿足，的符合題設條件，從而可得結論.

（1）由可得為遞增數列

由通項公式可知為等差數列

的前項和為：

（2）

，又

的“收縮數列”仍是

（3）由可得：

當時，；

當時，，即，所以；

當時，，即（*），

若，則，所以由（*）可得，與矛盾；

若，則，所以由（*）可得

所以與同號，這與矛盾；

若，則，由（*）可得.

猜想：滿足的數列是：

，

經驗證，左式

右式

下面證明其它數列都不滿足（3）的題設條件

由上述時的情況可知，時，，是成立的

假設是首次不符合，的項，則

由題設條件可得（*）

若，則由（*）式化簡可得與矛盾；

若，則，所以由（*）可得

所以與同號，這與矛盾；

所以，則，所以由（*）化簡可得.

這與假設矛盾.

所以不存在數列不滿足，的符合題設條件

綜上所述：，