Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣lnx有2個(gè)不同的極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，討論四種情況得到單調(diào)性.

（2）g（x）＝alnxx﹣1，，得到x1+x2＝a，x1x2＝a，f（x1）+f（x2）﹣2x1x2＝alna+lna﹣2a﹣2，設(shè)g（a）＝alna+lna﹣2a﹣2，（a＞4），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到答案.

（1），x＞0，

（i）若a＝1，0恒成立，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，

（ii）當(dāng)a＞1時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，a），f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（a，+∞），f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，

（iii）0＜a＜1時(shí)，x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（a，1），f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+∞），f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，

（iv）當(dāng)a≤0時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+∞），f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減.

（2）g（x）＝f（x）﹣lnx＝alnxx﹣1，，

由題意可得，x2﹣ax+a＝0與2個(gè)不同的根x1，x2（x1＜x2），

則x1+x2＝a＞0，x1x2＝a，△＝a2﹣4a＞0，所以a＞4，

∴f（x1）+f（x2）﹣2x1x2＝a（lnx1+lnx2）+a（）+（lnx1+lnx2）﹣（x1+x2）﹣2﹣2x1x2＝alna+lna﹣2a﹣2，

令g（a）＝alna+lna﹣2a﹣2，（a＞4），

則2＝lna1＞0，即g（a）在（4，+∞）上單調(diào)遞增，

所以g（a）＞g（4）＝5ln4﹣10＝5（ln4﹣2）＝5（ln4﹣lne2）＝5.得證.