Question

已知(1＋x)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n(n∈N*)．

(1)求a0及Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an；

(2)試比較Sn與(n－2)2n＋2n2的大小，并說明理由．

 

Answer 1

（1）a0＝2n Sn＝3n－2n.（2）當n＝1時，Sn＞(n－2)2n＋2n2；當n＝2,3時，Sn＜(n－2)2n＋2n2；當n≥4，n∈N*時，Sn＞(n－2)2n＋2n2.

【解析】(1)取x＝1，則a0＝2n；

取x＝2，則a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n，

所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－2n.

(2)要比較Sn與(n－2)2n＋2n2的大小，

即比較：3n與(n－1)2n＋2n2的大小．

當n＝1時，3n＞(n－1)2n＋2n2；

當n＝2,3時，3n＜(n－1)2n＋2n2；

當n＝4,5時，3n＞(n－1)2n＋2n2.

猜想：當n≥4時，3n＞(n－1)2n＋2n2，

下面用數學歸納法證明：

由上述過程可知，n＝4時結論成立．

假設當n＝k(k≥4)時結論成立，即3k＞(k－1)2k＋2k2，

兩邊同乘以3，得3k＋1＞3[(k－1)2k＋2k2]＝k2k＋1＋2(k＋1)2＋[(k－3)2k＋4k2－4k－2]．

而(k－3)2k＋4k2－4k－2＝(k－3)2k＋4(k2－k－2)＋6＝(k－3)2k＋4(k－2)(k＋1)＋6＞0.

所以3k＋1＞[(k＋1)－1]2k＋1＋2(k＋1)2.

即n＝k＋1時結論也成立．

所以當n≥4時，3n＞(n－1)2n＋2n2成立．

綜上得，

當n＝1時，Sn＞(n－2)2n＋2n2；當n＝2,3時，Sn＜(n－2)2n＋2n2；

當n≥4，n∈N*時，Sn＞(n－2)2n＋2n2.