Question

設(shè)橢圓方程為x²+=1,過點M(0,1)的直線l交橢圓于A,B兩點,O是坐標(biāo)原點,點P滿足=(+),當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時,動點P的軌跡方程為　　　　　.

Answer 1

4x²+y²-y=0

【思路點撥】設(shè)直線l的斜率為k,用參數(shù)法求解,但需驗證斜率不存在時是否符合要求.
直線l過點M(0,1),當(dāng)斜率存在時,設(shè)其斜率為k,則l的方程為y=kx+1.
設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
由題設(shè)可得點A,B的坐標(biāo)(x₁,y₁),(x₂,y₂)是方程組的解,
將①代入②并化簡得(4+k²)x²+2kx-3=0,
所以
于是=(+)=(,)
=(,).
設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),則消去參數(shù)k得4x²+y²-y=0,�、�
當(dāng)斜率不存在時,A,B中點為坐標(biāo)原點(0,0),也滿足方程③,所以點P的軌跡方程為4x²+y²-y=0.
【方法技巧】利用參數(shù)法求軌跡方程的技巧
參數(shù)法是求軌跡方程的一種重要方法,其關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)膮��?shù).一般來說,選參數(shù)時要注意:
①動點的變化是隨著參數(shù)的變化而變化的,即參數(shù)要能真正反映動點的變化特征;②參數(shù)要與題設(shè)的已知量有著密切的聯(lián)系;③參數(shù)要便于軌跡條件中的各種相關(guān)量的計算,也要便于消去.常見的參數(shù)有角度、斜率、點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)等.