Question

（理）已知坐標平面上三點A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．
（1）若(

OA

+

OC

)2=7（O為坐標原點），求向量

OB

與

OC

夾角的大小；
（2）若

AC

⊥

BC

，當0＜α＜π時，求tanα的值．

Answer 1

分析：（1）求出

OA

，   

OC

 ，利用(

OA

+

OC

)2=7，求出cosα，利用向量的數量積直接求出向量

OB

與

OC

夾角的大小；
（2）利用

AC

⊥

BC

，通過

AC

•

BC

=0求出cosα+sinα=

1

2

，然后求出cosα-sinα=-

7

2

，即可求解結果．

解答：解：（1）∵

OA

+

OC

=(2+cosα，sinα)，(

OA

+

OC

)2=7，
∴（2+cosα）²+sin²α=7，…（2分）
∴cosα=

1

2

．                                              …（4分）
又B（0，2），C（cosα，sinα），設

OB

與

OC

的夾角為θ，則cosθ=

OB • OC

| OB || OC |

=

2sinα

2

=sinα=±

3

2

，
∴

OB

與

OC

的夾角為

π

6

或

5

6

π．                              …（7分）
（2）

AC

=(cosα-2，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-2)，…（8分）
由

AC

⊥

BC

，∴

AC

•

BC

=0，可得cosα+sinα=

1

2

，①…（10分）
∴(cosα+sinα)2=

1

4

，∴2sinαcosα=-

3

4

，
∵α∈（0，π），∴α∈(

π

2

，π)，
又由(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=

7

4

，cosα-sinα＜0，
∴cosα-sinα=-

7

2

，②
由①、②得cosα=

1- 7

4

，sinα=

1+ 7

4

，從而tanα=-

4+ 7

3

．…（14分）

點評：本題考查三角函數與向量的數量積的關系，考查計算能力，注意角的范圍的應用，常考題型．