Question

已知函數f（x）=x²+px+q和g（x）=x+

4

x

都是定義在A{x|1≤x≤

5

2

}上，對任意的x∈A，存在常數x₀∈A，使得f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀），且f（x₀）=g（x₀），則f（x）在A上的最大值為（　�。�

• A、

  5

  2

• B、

  17

  4

• C、5
• D、

  41

  40

Answer 1

分析：由已知很容易得到函數g（x）=x+

4

x

 在區間[1，

5

2

]上的最小值為g（2）=4，于是函數f（x）=x²+px+q也在x=2處取到最小值f（2），下面只需代入數值即可求解．

解答：解：由已知函數f（x）=x²+px+q和g（x）=x+

4

x

在區間[1，

5

2

]上都有最小值f（x₀），g（x₀），
又因為g（x）=x+

4

x

 在區間[1，

5

2

]上的最小值為g（2）=4，
f（x）_min=f（2）=g（2）=4，
所以得：

- p 2 =2 4+2p+q=4

，
即：

p=-4 q=8

所以得：f（x）=x²-4x+8≤f（1）=5．
故選C．

點評：本題考查函數的單調性，利用單調性求解函數在區間上最值的方法，考查二次函數，對勾函數等函數型的性質；考查函數與方程，轉化與化歸等數學思想方法．