Question

若動圓P恒過定點B（2，0），且和定圓外切.
（1）求動圓圓心P的軌跡E的方程；
（2）若過點B的直線l與曲線E交于M、N兩點，試判斷以MN為直徑的圓與直線 是否相交，若相交，求出所截得劣弧的弧度數，若不相交，請說明理由.

Answer 1

（1）   （2）相交 

（1）由于圓P與圓C相外切      即
∴動圓P的圓心的軌跡是以B、C為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支

∴動點P的軌跡方程為………………6分（缺少扣1分）
（2）由（1）知B（2，0），直線為雙曲線的過右焦點的右準線，則MN為焦點弦.…………………………7分
當直線l斜率存在時，設代入中得：



又MN的中點A到直線的距離

∴以MN為直徑的圓與直線相交.……………………9分
截得劣弧弧度數等于所對圓心角θ的弧度數
又    
當直線l斜率不存在時，則直線，經驗證上述結論成立.……12分