Question

【題目】如圖, 為坐標原點,橢圓 的左右焦點分別為,離心率為;雙曲線 的左右焦點分別為,離心率為,已知,且.

(1)求的方程;

(2)過點作的不垂直于軸的弦, 為的中點,當直線與交于兩點時,求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析:(1)利用橢圓和雙曲線之間的關系可以用分別表示雙曲線和橢圓的離心率和焦點,由題目和即可得到之間的兩個方程,聯立方程消元即可求出的值,得到雙曲線和橢圓的標準方程.

(2)利用(1)求出焦點的坐標,設出弦的直線的方程,聯立直線與橢圓消得到關于的一元二次方程,再利用根與系數的關系得到兩點縱坐標之間的和與積,進而得到點的縱坐標帶入AB直線即可得到的橫坐標,進而求出直線的方程,即為直線的方程,聯立直線的方程得到的取值范圍和求出點的坐標得到的長度,利用點到直線的距離得到到直線的距離表達式,進而用表示四邊形的面積,利用不等式的性質和的取值范圍即可得到面積的最小值.

(1)由題可得,且,因為,且,所以且 且,所以橢圓方程為,雙曲線的方程為.

(2)由(1)可得,因為直線不垂直于軸,所以設直線的方程為,聯立直線與橢圓方程可得,則,,則,因為在直線上,所以,則直線的方程為,聯立直線與雙曲線可得 ,則,則,設點到直線的距離為,則到直線的距離也為,則,因為在直線的兩端,所以,

則 ,又因為在直線上,所以 ,

則四邊形面積,因為,所以當時,四邊形面積的最小值為.