Question

（2010•重慶三模）已知函數f（x）=x³-3x，過點A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線，則m的取值范圍（　　）

A．（-3，-2）

B．（-2，3）

C．（-2，-1）

D．（-1，1）

Answer 1

分析：先將過點A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線轉化為：方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三個不同實數根，記g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），下面利用導數研究函數g（x）的零點，從而求得m的范圍．

解答：解：由題意得：f′（x）=3x²-3，設切點為（x₀，y₀），
則切線的斜率k=3x₀²-3=

y0-m

x0-1

=

x3-3x0-m

x0-1

，
即2x₀³-3x₀²+m+3，由條件知該方程有三個實根，
∴方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三個不同實數根，
記g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1）
令g'（x）=0，x=0或1，
則x，g'（x），g（x）的變化情況如下表

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增

當x=0，g（x）有極大值m+3；x=1，g（x）有極小值m+2，
由題意有，當且僅當

g(0)＞0 g(1)＜0

，即

m+3＞0 m+2＜0

，-3＜m＜-2時，
函數g（x）有三個不同零點，
此時過點A可作曲線y=f（x）的三條不同切線．故m的范圍是（-3，-2）．
故選A．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．