Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx（a，b∈R）的圖象如圖所示，它與x軸在原點(diǎn)相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域（如圖陰影部分）的面積為

1

12

，則a=

-1

．

Answer 1

分析：由圖可知f（x）=0得到x的解確定出b的值，確定出f（x）的解析式，由于陰影部分面積為

1

12

，利用定積分求面積的方法列出關(guān)于a的方程求出a并判斷a的取舍即可．

解答：解：由圖知方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根x₁=x₂=0，于是b=0，
∴f（x）=-x²（x-a），有∫_a⁰（x³-ax²）dx=（

1

4

x4-

1

3

ax3）|_a⁰=0-

a4

4

+

a4

3

=

a4

12

=

1

12

，
∴a=±1．
函數(shù)f（x）與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)一個(gè)為0，另一個(gè)a，根據(jù)圖形可知a＜0，得a=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了定積分在求面積中的應(yīng)用，以及定積分的運(yùn)算法則，同時(shí)考查了計(jì)算能力和識(shí)圖能力，屬于中檔題．