Question

【題目】已知函數f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．
（1）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）當a＞0時，設g（x）=（x2﹣2x）ex ， 求證：對任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）= x2﹣3x+2lnx，x＞0，

所以f′（x）=x﹣3+ = ，

令f′（x）=0，解得x=1，或x=2，

當f′（x）＞0時，解得0＜x＜1或x＞2，

當f′（x）＜0時，解得1＜x＜2，

所以其單調遞增區間為（0，1），（2，+∞），單調遞減區間為（1，2）

（2）解：若要命題成立，只需當x∈（0，2]時，f（x）max＜g（x）max．由g′（x）=（x2﹣2）ex，

可知，當x∈（0，2]時，g（x）在區間（0， ）上單調遞減，在區間（ ，2]上單調遞增，

g（0）=g（2）=0，故g（x）max=0，

所以只需f（x）max＜0．

對函數f（x）來說，f′（x）=ax﹣（2a+1）+ = ．

①當 ≥2時，即 0＜a≤ ，函數f（x）在區間x∈（0，2]上單調遞增，

所以，f（x）max=f（2）=﹣2a﹣2+2ln2＜0，

所以，a＞ln2﹣1 即0＜a≤ ，

②當0＜ ＜2時，即a＞ ，函數f（x）在區間（0， ）上單調遞增，在區間（ ，2]上單調遞減，

所以f（x）max=f（ ）=﹣2lna﹣ ﹣2．

當a≥1時，顯然小于0，滿足題意；

當 ＜a＜1時，可令h（a）=﹣2lna﹣ ﹣2，

所以h′（a）= ，

可知該函數在a∈（ ，1）時單調遞減，h（a）＜h（ ）=2ln2﹣3＜0，滿足題意，

所以a＞ 滿足題意．

綜上所述：當a＞0時，對任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成立．

方法二：f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx= ﹣（x﹣2lnx），

因為a＞0，x∈（0，2]，

所以 ＜0

令h（x）=x﹣2lnx，則h′（x）=1﹣ = ，

所以h（x）在（0，2]為單調遞減，h（x）≥h（2）=2﹣2ln2＞0，

因此，在a＞0，x∈（0，2]時，f（x）＜0，

故當a＞0時，對任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成立．

【解析】（1）先求導，再根據導數和函數單調性的關系即可求出單調區間；（2）問題轉化為f（x）max＜g（x）max ， 根據導數和函數最值的關系求出g（x）max=0，再對a進行分類討論，根據導數和函數最值的關系即可證明．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．