Question

某校高一年級(jí)共有學(xué)生320人．為調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間（指除了完成教師布置的作業(yè)后學(xué)生根據(jù)自己的需要進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)間）情況，學(xué)校采用隨機(jī)抽樣的方法從高一學(xué)生中抽取了n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．根據(jù)問卷得到了這n名學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間的數(shù)據(jù)（單位：分鐘），按照以下區(qū)間分為七組：①[0，10），②[10，20），③[20，30），④[30，40），⑤[40，50），⑥[50，60），⑦[60，70），得到頻率分布直方圖如圖．已知抽取的學(xué)生中每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間低于20分鐘的人數(shù)是4人．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）若高一全體學(xué)生平均每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間少于45分鐘，則學(xué)校需要減少作業(yè)量．根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，學(xué)校是否需要減少作業(yè)量？（注：統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）
（Ⅲ）問卷調(diào)查完成后，學(xué)校從第3組和第4組學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生進(jìn)行座談，了解各學(xué)科的作業(yè)布置情況，并從這7人中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生聘為學(xué)情調(diào)查聯(lián)系人，設(shè)第3組中學(xué)生被聘的人數(shù)是X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖知第1組和第2組的頻率分別是0.02和0.06，則n×（0.02+0.06）=4，由此能求出n．
（Ⅱ）設(shè)第i組的頻率和頻數(shù)分別是p_i和x_i，由圖知p₁=0.02，p₂=0.06，p₃=0.3，p₄=0.4，p₅=0.12，p₆=0.08，p₇=0.02
則由x_i=50×p_i，可得x₁=1，x₂=3，x₃=15，x₄=20，x₅=6，x₆=4，x₇=1．由此能求出高一學(xué)生每天平均自主支配時(shí)間．（Ⅲ）第3組和第4組的頻數(shù)分別是15和20，用分層抽樣的方法抽取7人，則第3組應(yīng)抽7×

15

15+20

=3人，第4組應(yīng)抽7×

20

15+20

=4人．由題意知X=0，1，2，由此能求出X的分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由圖知第1組和第2組的頻率分別是0.02和0.06
則n×（0.02+0.06）=4，解得n=50
（Ⅱ）設(shè)第i組的頻率和頻數(shù)分別是p_i和x_i，由圖知p₁=0.02，p₂=0.06，p₃=0.3，p₄=0.4，p₅=0.12，p₆=0.08，p₇=0.02
則由x_i=50×p_i，可得x₁=1，x₂=3，x₃=15，x₄=20，x₅=6，x₆=4，x₇=1
則高一學(xué)生每天平均自主支配時(shí)間是：

.

t

=

5x1+15x2+25x3+35x4+45x5+55x6+65x7

50

=33.6＜45
則學(xué)校需要減少作業(yè)量．
（Ⅲ）第3組和第4組的頻數(shù)分別是15和20，用分層抽樣的方法抽取7人，則第3組應(yīng)抽7×

15

15+20

=3（人），第4組應(yīng)抽7×

20

15+20

=4（人）
由題意知X=0，1，2，且P(X=0)=

C 2 4

C 2 7

=

2

7

，P(X=1)=

C 1 4 C 1 3

C 2 7

=

4

7

，P(X=2)=

C 2 3

C 2 7

=

1

7

則X的分布列是

X	0	1	2
P	2 7	4 7	1 7

則E(X)=0×

2

7

+1×

4

7

+2×

1

7

=

6

7

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)讀圖，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．