Question

（本小題滿10分）注意：第（3）小題平行班學生不必做，特保班學生必須做。

對于函數，若存在x₀∈R，使成立，則稱x₀為的不動點。

已知函數（a≠0）。

（1）當時，求函數的不動點；

（2）若對任意實數b，函數恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；

（3）（特保班做）　在（2）的條件下，若圖象上A、B兩點的橫坐標是函數的不動點，且A、B兩點關于點對稱，求的的最小值。

Answer 1

解：（1）由題得：，因為為不動點，

因此有，即

所以或，即3和－1為的不動點。

（2）因為恒有兩個不動點，

∴　，

即　（※）恒有兩個不等實數根，

由題設恒成立，

即對于任意b∈R，有恒成立，

所以有　，　

　∴　　。

（3）由（※）式得，由題得E是A、B的中點，且

∴　，則E（），

∴　　－，　　∴　b=－，　

又由（2）知　0＜a＜1，　　令

∴　在上是單調遞減，在上是單調遞增

　∴　當時，　　

即　當時，　b取得最小值，其最小值為－。