Question

將(

x

+

3	x

)12的展開式中各項重新排列，使含x的正整數(shù)次冪的項互不相鄰的排法共有多少種？（　　）

A．A₁₃³?A₁₃¹⁰

B．A₁₀¹⁰+A₁₁³

C．A₁₃⁴?A₉⁹

D．A₁₀¹⁰?A₁₁³

Answer 1

分析：根據(jù)題意，寫出(

x

+

3	x

)12的展開式的通項為T_r+1=C₁₂^rx

36-5r

6

，分析可得在其展開式中，含x的正整數(shù)次冪的項共3項，不含x的正整數(shù)次冪的有10項；用插空法先將不含x的正整數(shù)次冪的10項進行全排列，可得11個空位，在其中任取3個，安排3個含x的正整數(shù)次冪的項；由分步計數(shù)原理計算可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，(

x

+

3	x

)12的展開式的通項為T_r+1=C₁₂^r（

x

）^12-r（

3	x

）^r=C₁₂^rx

36-5r

6

，其中共13項，
若

36-5r

6

為正整數(shù)，則r的值可以為0、4、6，即其展開式中，含x的正整數(shù)次冪的項共3項，其他的有10項，
先將不含x的正整數(shù)次冪的10項進行全排列，有A₁₀¹⁰種情況，
排好后，有11個空位，在這11個空位中，任取3個，安排3個含x的正整數(shù)次冪的項，有A₁₁³種情況，
共有A₁₀¹⁰•A₁₁³種情況；
故選D．

點評：本題考查排列、組合的運用以及二項式定理，關鍵是分析出其展開式中含x的正整數(shù)次冪的項的數(shù)目，進而用插空法解題．