Question

（本小題滿分12分）
若關于的實系數方程有兩個根，一個根在區間內，另一根在區間內，記點對應的區域為．
（1）設，求的取值范圍；
（2）過點的一束光線，射到軸被反射后經過區域，求反射光線所在直線經過區域內的整點（即橫縱坐標為整數的點）時直線的方程.

Answer 1

（1）；（2）。

(I)本小題根據二次函數零點分布規律可以得到一個關于a,b的不等式組，然后轉化為線性規則的知識求解即可.
(2)首先明確過點的光線經軸反射后的光線必過點,再結合（1）中的可行域先觀察可能滿足條件的整點，逐個驗證，最終找到符合條件的整點.進而確定所求直線的方程.
（1）方程的兩根在區間和上的幾何意義是：函數與軸的兩個交點的橫坐標分別在區間和內，由此可得不等式組
，即，則在坐標平面內，點對應的區域如圖陰影部分所示，

易得圖中三點的坐標分別為，．．．．．．4分
（1）令，則直線經過點時
取得最小值，經過點時取得最大值，即，
又三點的值沒有取到，所以；．．．．．．8分
（2）過點的光線經軸反射后的光線必過點，由圖可知
可能滿足條件的整點為，再結合不等式知點符合條件，所以此時直線方程為：，即．．．．．．．11分