Question

函數f（x）=x²+2|x-a|+a（a∈R），在x∈[-2，2]上的最大值為M（a），最小值為m（a）．
（1）求g（a）=M（a）-m（a）；
（2）設b∈R，若[f（x）+b]²≤36對x∈[-2，2]恒成立，求a+b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數最值的應用

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）注意到f（x）=x²+2|x-a|+a=

x2+2x-a，x≥a x2-2x+3a，x＜a

；結合二次函數的單調性，分6種情況討論；
（2）[f（x）+b]²≤36對x∈[-2，2]恒成立可化為-b-6≤f（x）≤-b+6對x∈[-2，2]恒成立，再化為最值問題，討論求解．

解答： 解：（1）f（x）=x²+2|x-a|+a=

x2+2x-a，x≥a x2-2x+3a，x＜a

；
①當a≥2時，在x∈[-2，2]上，
f（x）=x²+2|x-a|+a=x²-2x+3a，
M（a）=f（-2）=4+4+3a=8+3a，
m（a）=f（1）=3a-1；
g（a）=M（a）-m（a）=9；
②當1≤a＜2時，
f（x）在[1，2]上單調遞增，在[-2，1]上單調減，
且f（1）=3a-1，f（-2）=4+4+3a=8+3a，
f（2）=8-a；
故M（a）=f（-2）=4+4+3a=8+3a，
m（a）=f（1）=3a-1；
則g（a）=M（a）-m（a）=9；
③當0≤a＜1時，
f（x）在[a，2]上單調遞增，在[-2，a]上單調減，
且f（a）=a²+a，f（-2）=4+4+3a=8+3a，
f（2）=8-a；
故M（a）=f（-2）=4+4+3a=8+3a，
m（a）=f（a）=a²+a；
則g（a）=M（a）-m（a）=-a²+2a+8；
④當-1＜a＜0時，
f（x）在[a，2]上單調遞增，在[-2，a]上單調減，
且f（a）=a²+a，f（-2）=4+4+3a=8+3a，
f（2）=8-a；
故M（a）=f（2）=8-a，
m（a）=f（a）=a²+a；
則g（a）=M（a）-m（a）=-a²-2a+8；
⑤當-2＜a≤-1時，
f（x）在[-1，2]上單調遞增，在[-2，-1]上單調減，
且f（-1）=1-2-a=-1-a，f（-2）=4+4+3a=8+3a，
f（2）=8-a；
故M（a）=f（2）=8-a，
m（a）=f（-1）=1-2-a=-1-a；
則g（a）=M（a）-m（a）=9；
⑥當a≤-2時，在x∈[-2，2]上，
f（x）=x²+2|x-a|+a=x²+2x-a，
M（a）=f（2）=8-a，
m（a）=f（-1）=-a-1；
g（a）=M（a）-m（a）=9；
綜上所述，g（a）=

9，a≤-1或a≥1 -a2-2a+8，-1＜a＜0 -a2+2a+8，0≤a＜1

．
（2）[f（x）+b]²≤36可化為-b-6≤f（x）≤-b+6，
故[f（x）+b]²≤36對x∈[-2，2]恒成立可化為-b-6≤f（x）≤-b+6對x∈[-2，2]恒成立，
①a≥1時，M（a）=f（-2）=4+4+3a=8+3a，m（a）=f（1）=3a-1；
故-b-6≤3a-1，且8+3a≤-b+6，
從而解得，a+b≤-2a-2≤-4，
②當0≤a＜1時，M（a）=f（-2）=4+4+3a=8+3a，m（a）=f（a）=a²+a；
故-b-6≤a²+a，且8+3a≤-b+6，
則-7＜a+b≤-2；
③當-1＜a＜0時，M（a）=f（2）=8-a，m（a）=f（a）=a²+a；
故-b-6≤a²+a，且8-a≤-b+6，
故-7＜a+b＜-2，
④當a≤-1時，M（a）=f（2）=8-a，m（a）=f（-1）=-a-1；
故-b-6≤-a-1，且8-a≤-b+6，
則b+a≤-4，
綜上所述，b+a≤-2．

點評：本題考查了函數的最值，同時考查了恒成立問題的處理方法，特別是討論比較復雜，屬于難題．