Question

如圖在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，為的中點，是棱上一點，且.

（1）求證：平面；
（2）證明：∥平面；
（3）求二面角的度數.

Answer 1

（1）答案詳見解析；（2）答案詳見解析；（3）

試題分析：

（1）常用的證明直線和平面垂直的方法有兩種：①證明直線和平面內的兩條相交直線垂直；②若兩個平面垂直，則一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．本題易證，由平面平面，從而證明平面；（2）證明直線和平面平行的常用方法有兩種：①證明直線和平面內的一條直線平行；②若兩個平面平行，則一個平面內的直線平行于另一個平面．本題中，連接，交于，連接，易證，故，進而證明∥平面；（3）
選三條兩兩垂直的三條直線分別作為軸，建立空間直角坐標系，用坐標表示相關點，分別求兩個半平面的法向量并求其夾角，然后觀察二面角是銳二面角還是鈍二面角，從而決定取正或負角．
試題解析：（1）由已知，為的中點，，又因為平面平面，且平面平面=，面，∴平面．
（2）連接，交于，連接，因為底面是菱形，∴，∴∽，,∴,，又，,∴，又平面，平面，∴∥平面．
（3）連結，底面是菱形，且，是等邊三角形，由（1）平面..以為坐標原點，分別為軸軸軸建立空間直角坐標系
則.    10分
設平面的法向量為，，注意到∥
，解得是平面的一個法向量  12分
又平面的法向量為，設二面角的大小為，，∴，即二面角二面角的度數為．