Question

已知函數y=x+有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，上是減函數，在，+∞）上是增函數．
（1）如果函數y=x+在（0，4）上是減函數，在（4，+∞）上是增函數，求實常數b的值；
（2）設常數c∈1，4，求函數f（x）=x+（1≤x≤2）的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數y=x+的性質可知=4，從而可求出b的值；
（2）討論是否在定義域內，從而可求出函數的最小值，討論c可確定f（1）與f（2）的大小，從而求出函數的最大值．
解答：解：（1）由函數y=x+的性質知：y=x+在（0，）上是減函數，在（，+∞）上是增函數，
∴=4，∴2^b=16=2⁴，∴b=4．
（2）∵c∈（1，4），∴∈1，2．
又∵f（x）=x+在（0，）上是減函數，在（，+∞）上是增函數，
∴∈[1，2]時，當x=時，函數取得最小值2 ．
又f（1）=1+c，f（2）=2+，
f（2）-f（1）=1-．
當c∈（1，2）時，f（2）-f（1）＞0，f（2）＞f（1），
此時f（x）的最大值為f（2）=2+．
當c=2時，f（2）-f（1）=0，f（2）=f（1），
此時f（x）的最大值為f（2）=f（1）=3．
當c∈（2，4時，f（2）-f（1）＜0，f（2）＜f（1），
此時f（x）的最大值為f（1）=1+c．
綜上所述，函數f（x）的最小值為2；
當c∈（1，2）時，函數f（x）的最大值為2+；
當c=2時，函數f（x）的最大值為3；
當c∈（2，4）時，函數f（x）的最大值為1+c．
點評：本題主要考查了新定義，以及函數的最大值和最小值，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．