Question

【題目】(2015·陜西）設某校新、老校區之間開車單程所需時間為T，T只與道路暢通狀況有關，對其容量為100的樣本進行統計，結果如下：

T（分鐘）	25	30	35	40
頻數（次）	20	30	40	10

（1）求T的分布列與數學期望ET；
（2）劉教授駕車從老校區出發，前往新校區做一個50分鐘的講座，結束后立即返回老校區，求劉教授從離開老校區到返回老校區共用時間不超過120分鐘的概率．

Answer 1

【答案】
（1）

分布列見解析。

（2）

0.91

【解析】（I）由統計結果可得T的頻率分步為

T（分鐘）	25	30	35	40
頻率	0.2	0.3	0.4	0.1

以頻率估計概率得T的分布列為

T	25	30	35	40
P	0.2	0.3	0.4	0.1

從而 ET=25X0.2+30X0.3+35X0.4+40x0.1=32（分鐘）
(II)設T1,T2分別表示往、返所需時間，T1,T2的取值相互獨立，且與T的分布列相同.設事件A表示“劉教授共用時間不超過120分鐘”，由于講座時間為50分鐘，所以事件A對應于“劉教授在途中的時間不超過70分鐘”.
解法一：P(A)=P(T1+T2≤70）=P(T1=25,T2≤45 )+P(T1=30,T2≤40 )+P(T1=35,T2≤35 )+P(T1=40,T2≤30 )=1x0.2+1x0.3+0.9x0.4+0.5x0.1=0.91.
解法二：P()=P(T1+T2>70)=P((T1=30,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4X0.1+0.1X0.4+0.1X0.1=0.09 , 故.P(A)=1-P()=00.91
本題主要考查的是離散型隨機變量的分布列與數學期望和獨立事件的概率，屬于中檔題．解題時一定要抓住重要字眼“不超過”，否則很容易出現錯誤．解離散型隨機變量的分布列的試題時一定要萬分小心，特別是列舉隨機變量取值的概率時，要注意按順序列舉，做到不重不漏，防止出現錯誤．