Question

如圖所示，F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，A、B為兩個頂點，已知橢圓C上的點（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）過橢圓C的焦點F₂作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點，求弦長|PQ|．

Answer 1

（1）由題設知：2a=4，即a=2，
將點（1，

3

2

）代入橢圓方程得

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，
解得b²=3
∴c²=a²-b²=4-3=1，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
焦點F₁、F₂的坐標分別為（-1，0）和（1，0）
（2）由（Ⅰ）知A（-2，0），B（0，

3

），∴k_PQ=k_AB=

3

2

，
∴PQ所在直線方程為y=

3

2

（x-1），
由

y= 3 2 (x-1) x2 4 + y2 3 =1

得2x²-2x-3=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=1，x₁-x₂=-

3

2

，
弦長|PQ|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

7

2

•

7

=

7

2

．