Question

【題目】已知橢圓E： ，其焦點為F1，F2，離心率為，直線l：x＋2y－2＝0與x軸，y軸分別交于點A，B，

(1)若點A是橢圓E的一個頂點，求橢圓的方程；

(2)若線段AB上存在點P滿足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：(1)先利用直線方程求出橢圓的右頂點，再由離心率進行求解；(2)將問題轉化為判定直線和橢圓有公共點，聯立直線和橢圓的方程，得到關于的一元二次方程，利用判別式進行求解.

試題解析：(1)由橢圓的離心率為，

得a＝c，∵直線l與x軸交于A點，

∴A(2,0)，∴a＝2，c＝，b＝，

∴橢圓方程為＋＝1.

(2)由e＝，可設橢圓E的方程為＋＝1，

聯立

得6y2－8y＋4－a2＝0，

若線段AB上存在點P滿足|PF1|＋|PF2|＝2a，則線段AB與橢圓E有公共點，等價于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解．

設f(y)＝6y2－8y＋4－a2，

∴即

∴≤a2≤4，

故a的取值范圍是≤a≤2.