Question

【題目】已知兩個定點 ，動點P滿足 .設動點P的軌跡為曲線E，直線 .
（1）求曲線E的軌跡方程；
（2）若l與曲線E交于不同的C,D兩點，且 （O為坐標原點），求直線l的斜率；
（3）若 是直線l上的動點，過Q作曲線E的兩條切線QM,QN，切點為M,N，探究：直線MN是否過定點.

Answer 1

【答案】
（1）解：設點P坐標為
由 ，得：
整理得：曲線的E軌跡方程為 x 2 + y 2 = 4。
（2）解：依題意圓心到直線l的距離 ，
∴：k=±.
（3）解：由題意可知： 四點共圓且在以OQ為直徑的圓上，設 ，
其方程為 ，即：
又M,N在曲線 上，
，
即 ，由 得 ，
直線MN過定點 .
故答案為：直線MN過定點 ( , 1 ).
【解析】（1）本題先假設出點p的坐標，將已知條件代入即可求出軌跡方程。
（2）根據圓心到直線的距離可利用到未知數斜率k，進而求出k值。
（3）根據已知條件假設出以OQ為直徑圓的方程，再假設出直線MN的方程式，進而代入即可求出直線MN是否過定點。