Question

（本小題滿分16分）

設數列的通項是關于x的不等式的解集中整數的個數．

（Ⅰ）求，并且證明是等差數列；

（Ⅱ）設m、k、p∈N*，m+p=2k，為的前n項和．求證：＋≥；

（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的命題，對一般的各項均為正數的等差數列還成立嗎？如果成立，請證明你的結論；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由得，其中整數有2n-1個，故，

又，所以數列是等差數列…………（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴ S_m=m²，S_p=p²，S_k=k²．

由 w≥=0，

即≥．…………………（12分）

（Ⅲ）結論成立，證明如下：設等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，

則，

∵

，

把代入上式化簡得

=≥0，∴ S_m+S_p≥2S_k ．

又=

≤，

∴ ≥．故原不等式得證．…………（16分）