Question

定義在（0，+∞）上的可導函數f（x）滿足：xf′（x）＜f（x）且f（2）=0，則f（x）＜0的解集為（　　）

• A、（0，2）
• B、（0，2）∪（2，+∞）
• C、（2，+∞）
• D、ϕ

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數的運算

專題：導數的綜合應用

分析：構造函數g（x）=

f(x)

x

，求函數的導數，判斷函數的單調性，根據

f(x)

x

＜0的解集與f（x）＜0的解集相同即可得到結論．

解答： 解：根據題意，由f′（x）•x＜f（x）可得f′（x）•x-f（x）＜0，
設g（x）=

f(x)

x

即g′（x）=[

f(x)

x

]′=

xf′(x)-f(x)

x2

＜0，則g（x）在（0，+∞）上為減函數，
又由f（2）=0，則g（2）=0，
即當0＜x＜2時，有g（x）＞0，
當x＞2時，有g（x）＜0，
即g（x）=

f(x)

x

＜0的解集為（2，+∞），
當x＞0時，

f(x)

x

＜0的解集與f（x）＜0的解集相同，
故f（x）＜0的解集為（2，+∞），
故選C．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查了學生的計算能力，解題時注意轉化思想的運用，構造函數是解決本題的關鍵．