Question

已知f（x）=ln（2x+1），y=f（x）和y=g（x）的圖象關于直線y=2x+1對稱，M，N分別為y=f（x）和y=g（x）上的點，則|MN|的最小值為

 

．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據題意可判斷M，N分別為y=f（x）和y=g（x）上的點，|MN|的最小值時，即為M到直線y=2x+1的最近的位置，運用導數判斷即可．

解答： 解：

f（x）=ln（2x+1），x＞-

1

2

，
f′（x）=

2

2x+1

，
∵直線y=2x+1，
∴

2

2x0+1

=2，
x₀=0，y₀=ln（2×0+1）=0，
點（0，0）到直線y=2x+1的距離為函數f（x）=ln（2x+1）上的點到直線y=2x+1最小，
∴d=

1

5

，
∵y=f（x）和y=g（x）的圖象關于直線y=2x+1對稱，M，N分別為y=f（x）和y=g（x）上的點，
∴M（0，0）符合題意，
∴|MN|的最小值為

2 5

5

，
故答案為：

2 5

5

．

點評：本題考查了函數的圖象，導數的運用，判斷最小值問題，綜合運用各種知識，屬于難度較大的題目，關鍵是分析的出求解思路．