Question

（本題滿分15分）已知數列中，，（n∈N*），
  （1）試證數列是等比數列，并求數列{}的通項公式；
（2）在數列{}中，求出所有連續三項成等差數列的項；
（3）在數列{}中，是否存在滿足條件1＜r＜s的正整數r ，s ，使得b₁，b_r，b_s成等差數列？若存在，確定正整數r，s之間的關系；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）（2）有且僅有連續三項b₂，b₃，b₄成等差數列
（3）存在不小于4的正偶數s，且s＝r＋1，使得b₁，b_r，b_s成等差數列

   解：（1）證明: 由，得a_n＋1＝2ⁿ—a_n，
∴,
∴數列是首項為,公比為的等比數列．………………3分
∴ , 即，
∴…………………………………………………………………………5分
（2）解：假設在數列{b_n}中，存在連續三項b_k－1，b_k，b_k＋1（k∈N*, k≥2）成等差數列，則b_k－1＋b_k＋1＝2b_k，即，
即＝4………………………………………………………………7分
若k為偶數，則＞0，4＝－4＜0，所以，不存在偶數k，使得
    b_k－1，b_k，b_k＋1成等差數列。…………………………………………………………8分
若k為奇數，則k≥3，∴≥4，而4＝4，所以，當且僅當k＝3時，
    b_k－1，b_k，b_k＋1成等差數列。
綜上所述，在數列{b_n}中，有且僅有連續三項b₂，b₃，b₄成等差數列。…………10分
（3）要使b₁，b_r，b_s成等差數列，只需b₁＋b_s＝2 b_r，
即3＋＝2[],即， ①
（ⅰ）若s＝r＋1，在①式中，左端＝0，右端＝，要使①式成立，當且僅當s為偶數時成立。又s＞r＞1，且s，r為正整數，所以，當s為不小于4的正偶數，且s＝r＋1時，b₁，b_r，b_s成等差數列。……………………………………………………………13分
（ⅱ）若s≥r＋2時，在①式中，左端≥＝＞0，右端≤0，∴當s≥r＋2時，b₁，b_r，b_s不成等差數列。
綜上所述，存在不小于4的正偶數s，且s＝r＋1，使得b₁，b_r，b_s成等差數列。…15分