Question

在曲線y=1-x²（x≥0，y≥0）上找一點（x₀，y₀），過此點作一切線與x軸、y軸圍成一個三角形．
（1）求三角形面積S的最小值及相應的x₀；
（2）當三角形面積達到最小值時，求此三角形的外接圓方程．

Answer 1

解：（1）y'=-2x，則過點（x₀，y₀）的切線方程為y-（1-x₀²）=-2x₀（x-x₀），
與x、y軸圍成的三角形面積為，
則，令S'=0得
當時，S'＜0，f（x₀）單調遞減； 當時，S'＞0，f（x₀）單調遞增．
∴S的最小值為，此時（7分）
（2）當三角形面積最小時，切線方程為，切線與x、y軸的交點分別為、，
∴此三角形的外接圓圓心為，半徑為，
∴所求外接圓方程（12分）
分析：（1）求出函數y=1-x²在（x₀，y₀）處的導數值，即切線的斜率，利用點斜式寫出直線的方程，對于直線的方程分別令y=0，x=0得到直線與坐標軸的交點坐標，利用兩點距離公式求出三角形的兩條直角邊，利用三角形的面積表示出面積，對面積函數求導數，令導數等于0，判斷出根左右兩邊的導函數符號，求出最大值．
（2）當三角形面積最小時，求出此時的切線方程及切線與x、y軸的交點坐標，從而得出此三角形的外接圓圓心，半徑，從而寫出外接圓方程即可．
點評：解決曲線的切線斜率問題，一般利用函數在切點處的導數值為切線的斜率；解決實際問題中的函數的最值問題，一般利用導數求出函數的極值即函數的最值．