Question

在如圖所示的幾何體中，平面，∥， 是的中點，，．
（1）證明：∥平面；
（2）求二面角的大小的余弦值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）要證明直線和平面平行，只需證明直線和平面內的一條直線平行，取中點，連接，則，且，由已知得，且，故，則四邊形是平行四邊形，可證明，進而證明∥平面，或可通過建立空間直角坐標系，用坐標表示相關點的坐標，證明直線的方向向量垂直于平面的法向量即可；（2）先求半平面和的法向量的夾角的余弦值，再觀察二面角是銳二面角還是鈍二面角，來決定二面角的大小的余弦值的正負，從而求解．
（1）因為，∥，所以平面．
故以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則相關各點的坐標分別是，，，，
， ． 
所以，
因為平面的一個法向量為，
所以，
又因為平面，所以平面．   6分
（2）由（1）知，，，．
設是平面的一個法向量，由 得
，取，得，則
設是平面的一個法向量，由得
，取，則，則
設二面角的大小為，則，故二面角的大小的余弦值為．