Question

（2011•江蘇二模）必做題
隨機的將編號為1，2，3的三個小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，每個盒子放入一個小球，當球的編號與盒子的編號相同時叫做“放對球”，否則叫做“放錯球”，設放對球的個數為?．
（1）求?的分布列；
（2）求?的期望值．

Answer 1

分析：（1）由題設知?的可能取值為0，1，3，結合題設條件分別求出P（?=0），P（?=1），P（?=3，由此能求出?的分布列．
（2）由?的分布列，能求出E?．

解答：解：（1）由題設知?的可能取值為0，1，3，
∵?=0表示的是從3個球中任取一球，有

C

1 3

取法，放入盒中是放錯球的方法有

C

1 2

種，
從剩余的2個球中任取一球，有

C

1 2

種取法，放入盒中是放錯球的方法有

C

1 1

種，
從剩余的1個球中任取一球，有

C

1 1

種取法，放入盒中是放錯球的方法有

C

1 1

種，
∴P（?=0）=

C 1 2 × C 1 1 × C 1 1

C 1 3 × C 1 2 × C 1 1

=

1

3

，
∵?=1表示的是先從3個球中任取1球（假設取到3號球），放入對應編號的盒中（放入3號盒中），
問題就簡化為把編號為1，2的兩個小球放入編號為1，2的兩個盒中，兩個球都是放錯球，
∴P（?=1）=

C 1 1 × C 1 1

C 1 2 × C 1 1

=

1

2

，
∵?=3表示的是從3個球中任取一球，有

C

1 3

取法，放入盒中是放錯球的方法有

C

1 1

種，
從剩余的2個球中任取一球，有

C

1 2

種取法，放入盒中是放錯球的方法有

C

1 1

種，
從剩余的1個球中任取一球，有

C

1 1

種取法，放入盒中是放錯球的方法有

C

1 1

種，
∴P（?=3）=

C 1 1 × C 1 1 × C 1 1

C 1 3 × C 1 2 × C 1 1

=

1

6

，
∴?的分布列為：

ζ	0	1	3
P	1 3	1 2	1 6

（2）∵?的分布列為：

ζ	0	1	3
P	1 3	1 2	1 6

∴E?=0×

1

3

+1×

1

2

+3×

1

6

=1．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列的方差，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，易錯點是?=1的合理簡化．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．