Question

（2006•薊縣一模）設(shè)F₁、F₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上的點(diǎn)，且

AF2

•

F1F2

=0，cos∠AF1F2=

2 2

3

，則橢圓的離心率為（　　）

• A．

  10

  8

• B．

  10

  4

• C．

  2

  4

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)，由

AF2

•

F1F2

=0得AF₂⊥F₁F₂，Rt△AF₁F₂中利用三角函數(shù)的定義算出|AF₁|=

3 2

2

c，利用勾股定理算出|AF₂|=

2

2

c，進(jìn)而得到長(zhǎng)軸2a=|AF₁|+|AF₂|=2

2

c，即可算出該橢圓的離心率．

解答：解：∵

AF2

•

F1F2

=0，∴

AF2

⊥

F1F2

∵Rt△AF₁F₂中，cos∠AF1F2=

2 2

3

∴

|F 1F2|

|AF1|

=

2 2

3

，得|AF₁|=

3 2

4

|F₁F₂|=

3 2

2

c
由勾股定理，得|AF₂|=

|AF1|2-|F 1F2|2

=

2

2

c
根據(jù)橢圓的定義，得長(zhǎng)軸2a=|AF₁|+|AF₂|=2

2

c
∴橢圓的離心率e=

2c

2a

=

2c

2 2 c

=

2

2

故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓中的焦點(diǎn)三角形，在AF₂⊥F₁F₂且cos∠AF1F2=

2 2

3

的情況下求橢圓的離心率．著重考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)、直角三角形中三角函數(shù)的定義和橢圓的定義與概念等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．