Question

（2012•煙臺一模）已知命題p：“a=1是x＞0，x+

a

x

≥2的充分必要條件”，命題q：“存在x₀∈R，x02+x₀-2＞0”，則下列命題正確的是（　　）

A．命題“p∧q”是真命題

B．命題“p∧（?q）”是真命題

C．命題“（?p）∧q”是真命題

D．命題“（?p）∧（?q）”是真命題

Answer 1

分析：根據基本不等式進行討論，可得：“a=1是x＞0，x+

a

x

≥2的充分不必要條件”，命題p是假命題．再根據一元二次不等式的解法，得到命題q：“存在x₀∈R，x02+x₀-2＞0”是真命題．由此不難得出正確的答案．

解答：解：對于p，當a=1時，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，在x＞0時恒成立，
反之，若x＞0，x+

a

x

≥2恒成立，則2

x• a x

≥2，即

a

≥1，可得a≥1
因此，“a=1是x＞0，x+

a

x

≥2的充分不必要條件”，命題p是假命題．
對于q，∵在x₀＜-1或x₀＞2時x02+x₀-2＞0才成立，
∴“存在x₀∈R，x02+x₀-2＞0”是真命題，即命題q是真命題．
綜上，命題p為假命題而命題q為真命題，所以命題“（￢p）∧q”是真命題
故選C

點評：本題以兩個含有不等式的命題真假的判斷為載體，著重考查了一元二次不等式的解法、基本不等式和復合命題的真假判斷等知識，屬于基礎題．