Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，B為切點，OC平行于弦AD，連結CD.

(1)求證：CD是⊙O的切線；

(2)過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點P，求證：P點平分線段DE.

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

【解析】(1)連結OD，

∵OC∥AD，

∴∠1＝∠ADO，∠2＝∠DAO.

∵OA＝OD，

∴∠ADO＝∠DAO，

∴∠1＝∠2.

∵OC＝OC，OB＝OD，

∴△DOC≌△BOC，

∴∠ODC＝∠OBC.

∵OB是⊙O的半徑，BC是⊙O的切線，

∴BC⊥OB，∴∠OBC＝90°，

∴∠ODC＝90°，∴CD⊥OD.

又∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．

(2)證法一：過點A作⊙O的切線AF，交CD的延長線于點F，則FA⊥AB.

∵DE⊥AB，由(1)知CB⊥AB，

∴FA∥DE∥CB，∴.

在△FAC中，∵DP∥FA，∴.

∵FA，FD是⊙O的切線，∴FA＝FD，

∴，∴

在△ABC中，∵EP∥BC，∴.

∵CD，CB是⊙O的切線，∴CB＝CD，

∴.

∴，∴DP＝EP.

∴點P平分線段DE.

證法二：輔助線同上．

由(1)及已知條件知BC，CD，AF為⊙O的切線，B，D，A為切點，

∴CB＝CD，FA＝FD.

設CD＝m，FD＝n.

∵DE⊥AB，∴AF∥DE∥BC.

∴，即PD＝，PE＝，

∴PD＝PE，因此P點平分線段DE.