Question

設棋子在正四面體ABCD的表面從一個頂點移向另外三個頂點是等可能的，現投擲骰子根據其點數決定棋子是否移動：若投出的點數是偶數，棋子移動到另一個頂點；若投出的點數是奇數，則棋子不動．若棋子的初始位置在頂點A．
求：（Ⅰ）投了2次骰子，棋子才到達頂點B的概率；
（Ⅱ）記投了n次骰子，棋子在頂點B的概率為P_n．求P_n．

Answer 1

分析：（I）本題研究事件“投了2次骰子，棋子才到達頂點B”的概率，此事件包含兩種情況“第一次不動，第二次移到點B”、“第一次移到C或D，第二次移到B”分別計算出它們的概率，再求和既得；
（II）先根據題意判斷出P_n與P_n-1的遞推關系，通過構造新數列求出棋子在頂點B的概率為P_n．

解答：解：（I）根據題意得到棋子不動的概率為

1

2

，棋子移動的概率為

3

6

×

1

3

=

1

6

投了2次骰子，棋子才到達頂點B有三種方式：A→A→B，A→D→B，A→C→B
故概率為P=

1

2

×

1

6

+

1

6

×

1

6

+

1

6

×

1

6

=

5

36

（II）根據題意知
Pn=

1

2

pn-1+

1

6

(1-pn-1)=

1

3

pn-1+

1

6

且p1=

1

6

所以pn-

1

4

=

1

3

(pn-1-

1

4

)
所以pn-

1

4

=(p1-

1

4

)×(

1

3

)n-1
所以pn=

1

4

-

1

12

(

1

3

)n-1

點評：本題考查相互獨立事件的概率乘法公式，事件的分類，解題的關鍵是理解所研究的事件包含了哪些事件，且能根據概率乘法公式正確進行計算求概率，本題的難點是理解事件，對事件所包含的情況進行分類，重點是從事件中抽象出概率乘法模型，利用公式進行計算．本題考查了分類討論思想，轉化的思想及從具體事件中抽象出概率模型的能力，這也是高考考查的主要方式