Question

已知動圓C經過點，且在x軸上截得弦長為2，記該圓圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）過點的直線m交曲線E于A，B兩點，過A，B兩點分別作曲線E的切線，兩切線交于點C，當△ABC的面積為時，求直線m的方程.

Answer 1

（Ⅰ）x²＝2y；（Ⅱ）直線m的方程為y＝±x＋．

試題分析：（Ⅰ）根據定義法確定軌跡為拋物線，然后借助圓C被x軸截得弦長的最小值為1求解參數m的值；（Ⅱ）利用導數的幾何意義求解拋物線的切線方程，然后將三角形面積進行表示，其底邊用弦長公式進行表示，高用點到直線的距離進行表示，得到含有直線m的斜率k的等式.
試題解析：（Ⅰ）設圓C的圓心坐標為(x，y)，則其半徑r＝．
依題意，r²－y²＝1，即x²＋(y－1)²－y²＝1，
整理得曲線E的方程為x²＝2y．                                   …4分
（Ⅱ）設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則y₁＝，y₂＝．
設直線m方程為y＝kx＋，代入曲線E方程，得
x²－2kx－1＝0，則x₁＋x₂＝2k．                                   …6分
對y＝x²求導，得y¢＝x．
于是過點A的切線為y＝x₁(x－x₁)＋，即y＝x₁x－．         ①
由①同理得過點B的切線為y＝x₂x－．                       ②
設C(x₀，y₀)，由①、②及直線m方程得
x₀＝＝k，y₀＝x₁x₀－＝－．                               8分
M為拋物線的焦點，y＝－為拋物線的準線，由拋物線的定義，得
|AB|＝y₁＋＋y₂＋＝k(x₁＋x₂)＋2＝2(k²＋1)．
點C到直線m的距離d＝＝．                   10分
所以△ABC的面積S＝|AB|·d＝(k²＋1)．
由已知(k²＋1)＝2，有且僅有k＝±1．
故直線m的方程為y＝±x＋．                                   12分