Question

（2007•東城區一模）已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），數列{a_n}滿足a₁=2，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，b_n=

9

10

(n+2)(an-1)．
（1）求證：數列{a_n-1}是等比數列；  
（2）當n取何值時，{b_n}取最大值，并求出最大值；
（3）若

tm

bm

＜

tm+1

bm+1

對任意m∈N^*恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a_n，代入函數f（x）與g（x）的解析式化簡得（a_n-1）[10×（a_n+1-a_n）+a_n-1]=0，所以兩邊除以a_n-1，得10（a_n+1-1）=9（a_n-1），而a₁-1=1，{a_n-1}就是首項為1，公比為

9

10

的等比數列．
（2）求出b_n的通項公式，然后研究{b_n}的單調性，從而求出n取何值時，b_n取最大值，以及最大值；
（3）設數列{

tn

bn

}，若

tm

bm

＜

tm+1

bm+1

對任意m∈N^*恒成立，則數列{

tn

bn

}為遞增數列，設其通項為c_n=

1

n+2

(

10t

9

)n為遞增數列；那么對于任意的自然數n，我們都有c_n+1≥c_n，從而求出t的取值范圍．

解答：證明：（1）由方程，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0
得：（a_n+1-a_n）×10×（a_n-1）+（a_n-1）²=0
整理得（a_n-1）[10×（a_n+1-a_n）+a_n-1]=0；
顯然由a₁=2，則a_n顯然不是常數列，且不等于1，所以兩邊除以a_n-1；
得10×（a_n+1-a_n）+a_n-1=0．整理后得：10（a_n+1-1）=9（a_n-1），
a₁-1=1，{a_n-1}就是首項為1，公比為

9

10

的等比數列．
解：（2）將a_n-1=（

9

10

）^n-1代入bn=

9

10

(n+2)(an-1)得b_n=（

9

10

）ⁿ×（n+2）．
b_n+1-b_n=（

9

10

）ⁿ⁺¹×（n+3）-（

9

10

）ⁿ×（n+2）=（

9

10

）ⁿ×

7-n

10

．
∴{b_n}在[1，7]上單調遞增，在[8，+∞）上單調遞減
∴當n取7或8，{b_n}取最大值，最大值為9×（

9

10

）⁷
（3）設數列{

tn

bn

}，若

tm

bm

＜

tm+1

bm+1

對任意m∈N^*恒成立，
則數列{

tn

bn

}為遞增數列，設其通項為c_n=

1

n+2

(

10t

9

)n為遞增數列；
那么對于任意的自然數n，我們都有c_n+1＞c_n 顯然我們可以得：

10t

9

＞

n+3

n+2

該不等式恒成立條件是左邊的比右邊的最大值還要大，就行取n=1．求得t＞

6

5

∴實數t的取值范圍為（

6

5

，+∞）

點評：本題主要考查了等比數列的判定，以及數列的最值和數列的單調性的判定，是一道綜合題，有一定的難度．