Question

已知函數(shù)f(x)=

x

1+x

（1）求f(x)+f(

1

x

)的值；
（2）判斷f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

分析：（1）直接代入計算可得結(jié)論；
（2）f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上的單調(diào)遞增，利用定義證明，步驟是取值、作差、變形定號、下結(jié)論．

解答：解：（1）∵f(x)=

x

1+x

∴f(x)+f(

1

x

)=

x

1+x

+

1 x

1+ 1 x

=1；
（2）f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上的單調(diào)遞增，證明如下：
 設(shè)-1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x1

-

x2

1+x2

=

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

∵-1＜x₁＜x₂，∴

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上的單調(diào)遞增．

點評：本題考查函數(shù)解析式的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，利用定義證明，步驟是取值、作差、變形定號、下結(jié)論．