Question

某供貨商擬從碼頭A發貨至其對岸l的兩個商場B，C處，通常貨物先由A處船運至BC之間的中轉站D，再利用車輛轉運．如圖，碼頭A與兩商場B，C的距離相等，兩商場間的距離為20千米，且∠BAC=

π

2

．若一批貨物從碼頭A
至D處的運費為100元/千米，這批貨到D后需分別發車2輛、4輛轉運至B、C處，每輛汽車運費為25元/千米．設∠ADB=α，該批貨總運費為S元．
（Ⅰ）寫出S關于α的函數關系式，并指出α的取值范圍；
（Ⅱ）當α為何值時，總運費S最小？并求出S的最小值．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,基本不等式在最值問題中的應用,不等式的實際應用

專題：應用題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出AD，BD，CD，利用S=AD×100+BD×25×2+CD×25×4，寫出S關于α的函數關系式，并指出α的取值范圍；
（Ⅱ）換元，利用導數，即可求出當α為何值時，總運費S的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，在Rt△ABC中，2AB²=20²，
∴AB=10

2

．…（1分）
又∵在△ABD中，∠ABD=

π- π 2

2

=

π

4

，∠ADB=α，
由

AD

sin π 4

=

AB

sinα

，得AD=

10

sinα

…（2分）
由

BD

sin[π-(α+ π 4 )]

=

AB

sinα

，得BD=

10 2 sin(α+ π 4 )

sinα

，…（3分）
∴CD=20-

10 2 sin(α+ π 4 )

sinα

． …（4分）
∴S=AD×100+BD×25×2+CD×25×4=

10

sinα

×100+

10 2 sin(α+ π 4 )

sinα

×50+[20-

10 2 sin(α+ π 4 )

sinα

]×100
=2000+

1000-500 2 sin(α+ π 4 )

sinα

，其中α的取值范圍是(

π

4

， 

3π

4

)．    …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）S=2000+

1000-500 2 sin(α+ π 4 )

sinα

=1500+500×

2-cosα

sinα

，…（8分）
令f(α)=

2-cosα

sinα

，
∴f′(α)=

sinα•sinα-cosα(2-cosα)

sin2α

=

1-2cosα

sin2α

，…（9分）
由f′（α）=0得：cosα=

1

2

，
又∵α∈(

π

4

， 

3π

4

)，
∴α=

π

3

．  …（10分）
當α∈(

π

4

， 

π

3

)時，f′（α）＜0，
當α∈(

π

3

， 

3π

4

)時，f′（α）＞0，…（11分）
∴f(α)min=f(

π

3

)=

2- 1 2

3 2

=

3

． …（12分）
∴Smin=1500+500

3

（元），
∴當α=

π

3

時，運輸費用S的最小值為(1500+500

3

)元．…（13分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換、解三角形、函數與導數等基礎知識，考查推理論證能力、抽象概括能力和運算求解能力，考查應用意識，考查數形結合思想、函數與方程思想、化歸與轉化思想．