Question

（本小題滿分12分）如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，，，分別是，的中點，點在直線上，且；
（1）證明：無論取何值，總有；
（2）當取何值時，直線與平面所成的角最大？并求該角取最大值時的正切值；
（3）是否存在點，使得平面與平面所成的二面角為30º，若存在，試確定點的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：見解析；
（2）當＝時，θ取得最大值，此時sinθ=,cosθ=,tanθ="2" ；
（3）不存在點P使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30º

（1）以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，求出各點的坐標及對應向量的坐標，易判斷，即AM⊥PN；
（2）設出平面ABC的一個法向量，表達出sinθ，利用正弦函數的單調性及正切函數的單調性的關系，求出滿足條件的λ值，進而求出此時θ的正切值；
（3）假設存在，利用平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°，則平面PMN與平面ABC法向量的夾角為30°，代入向量夾角公式，可以構造一個關于λ的方程，研究方程根的情況，即可得到結論．
證明：（1）如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則A₁（0，0，1），

C

N

B₁（1，0，1）， M（0，1，），N（，0）
，，

（1）∵，∴
∴無論取何值，AM⊥PN………………………………4分
（2）∵（0，0，1）是平面ABC的一個法向量.
∴sinθ=|cos<|=
∴當＝時，θ取得最大值，此時sinθ=,cosθ=,tanθ=2 ………8分
（3）假設存在，則，設是平面PMN的一個法向量.
則得令x=3，得y=1+2,z=2-2
∴
∴|cos<>|=化簡得4
∵△＝100-4413＝-108<0
∴方程（*）無解
∴不存在點P使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30º