Question

設函數f(x)=lnx-

1

2

ax2-6x
（Ⅰ）當a=b=

1

2

時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）令F(x)=f(x)+

1

2

ax2+bx+

a

x

(0＜x≤3），其圖象上任意一點P（x₀，y₀）處切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）當a=0，b=-1時，方程f（x）=mx在區間[1，e²]內有唯一實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區間為單調增區間，fˊ（x）＜0的區間為單調減區間．
（II）先構造函數F（x）再由以其圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，知導函數≤

1

2

恒成立，再轉化為所以a≥（-

1

2

，x₀²+x₀）max求解．
（III）先把程f（x）=mx有唯一實數解，轉化為m=1+

lnx

x

有唯一實數解，再利用單調函數求解．

解答：解：（Ⅰ）依題意，知f（x）的定義域為（0，+∞）．（1分）
當a=b=

1

2

時，f（x）=lnx-

1

4

x²-

1

2

x，
f′（x）=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

-(x+2)(x-1)

2x

．（2分）
令f′（x）=0，解得x=1．
當0＜x＜1時，f′（x）＞，此時f（x）單調遞增；
當x＞1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調遞減．（3分）
所以函數f（x）的單調增區間（0，1），函數f（x）的單調減區間（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）F（x）=lnx+

a

x

，x∈（0，3]，
所以k=F′（x0）=

x0-a

x 2 0

≤

1

2

，在x₀∈（0，3]上恒成立，（6分）
所以a≥（-

1

2

，x₀²+x₀）max，x₀∈（0，3]（7分）
當x₀=1時，-

1

2

x₀²+x₀取得最大值

1

2

．所以a≥

1

2

．（9分）
（Ⅲ）當a=0，b=-1時，f（x）=lnx+x，
因為方程f（x）=mx在區間[1，e²]內有唯一實數解，
所以lnx+x=mx有唯一實數解．
∴m=1+

lnx

x

，
設g（x）=1+

lnx

x

，則g′（x）=

1-lnx

x2

．
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；
g′（x）＜0，得x＞e，
∴g（x）在區間[1，e]上是增函數，在區間[e，e²]上是減函數，
g（1）=1，g（e²）=1+

lne2

e2

=1+

2

e2

，g（e）=1+

1

e

，
所以m=1+

1

e

，或1≤m＜1+

2

e2

．

點評：本題主要考查函數的單調性、極值、不等式、方程的解等基本知識，同時考查運用導數研究函數性質的方法，分類與整合及化歸與轉化等數學思想．