Question

對于二項式（1-x）¹⁰，求：
（1）求展開式中的二項式系數和；
（2）展開式的中間項是第幾項？寫出這一項；
（3）求展開式中除常數項外，其余各項的系數和．

Answer 1

分析：（1）二項式的展開式中的二項式系數和為

C

0 10

+

C

1 10

+

C

2 10

+…+

C

10 10

=2¹⁰，運算求得結果．
（2）此展開式共有11項，它的中間項是第6項，再由通項公式求得它的值．
（3）設二項式（1-x）¹⁰ =a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，令x=1，可得 a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=0，令x=0，可得a₀=1，從而求得 a₁+a₂+…+a₁₀ 的值，即為所求．

解答：解：（1）對于二項式（1-x）¹⁰，展開式中的二項式系數和為

C

0 10

+

C

1 10

+

C

2 10

+…+

C

10 10

=2¹⁰=1024．
（2）此展開式共有11項，它的中間項是第6項，為 T₆=

C

5 10

•（-x）⁵=-252x⁵．
（3）設二項式（1-x）¹⁰ =a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，
令x=1，可得 a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=0，
令x=0，可得a₀=1，∴a₁+a₂+…+a₁₀=-1，即 展開式中除常數項外，其余各項的系數和為-1．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，注意根據題意，分析所給代數式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題．