Question

（2012•湖北模擬）函數f(x)=

1，(x為有理數) 0，(x為無理數)

，則下列結論錯誤的是（　　）

A．f（x）是偶函數

B．方程f（f（x））=x的解為x=1

C．f（x）是周期函數

D．方程f（f（x））=f（x）的解為x=1

Answer 1

分析：根據已知的函數f(x)=

1，(x為有理數) 0，(x為無理數)

的解析式，結合函數奇偶性的定義，函數周期性的定義及函數值的確定方法，分別判斷四個答案的真假，可得答案．

解答：解：∵函數f(x)=

1，(x為有理數) 0，(x為無理數)

，
當x為有理數時，-x必為有理數，此時f（-x）=f（x）=1；當x為無理數時，-x必為無理數，此時f（-x）=f（x）=0．故Af（x）是偶函數正確；
若為有理數，則方程f（f（x））=f（1）=1，此時x=1；若為無理數，則方程f（f（x））=f（0）=1，此時無滿足條件的x；故B方程f（f（x））=x的解為x=1正確；
對于任意的有理數T，當x為有理數時，x+T必為有理數，此時f（x+T）=f（x）=1；當x為無理數時，x+T必為無理數，此時f（x+T）=f（x）=0；即函數是周期為任意非0有理數的周期函數，故Cf（x）是周期函數正確；
若為有理數，則方程f（f（x））=f（1）=1=f（x）恒成立；若為無理數，則方程f（f（x））=f（0）=1≠f（x），此時無滿足條件的x；故方程f（f（x））=f（x）的解為任意有理數，故D錯誤；
故選D

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，函數的值及函數的性質，正確理解新定義函數f(x)=

1，(x為有理數) 0，(x為無理數)

是解答的關鍵．