Question

一個口袋中裝有個紅球（且）和5個白球，一次摸獎從中摸兩個球，兩個球顏色不同則為中獎．

   （Ⅰ）試用表示一次摸獎中獎的概率；

   （Ⅱ）若，求三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率；

   （Ⅲ）記三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為．當取多少時，最大？

Answer 1

⑴，，當時，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率最大

解析:

（Ⅰ）一次摸獎從個球中任選兩個，有種，

它們等可能，其中兩球不同色有種，………………………2分

一次摸獎中獎的概率．………………………4分

（Ⅱ）若，一次摸獎中獎的概率,………………………6分

三次摸獎是獨立重復試驗，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率是

．  ………………………8分

（Ⅲ）設每次摸獎中獎的概率為，則三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為

，， ……………………12分

，知在上為增函數，在上為減函數，當時取得最大值．又,解得．…………14分

答：當時，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率最大．

【方法探究】本題是一個在等可能性事件基礎上的獨立重復試驗問題，體現了不同概型的綜合．第Ⅲ小題中的函數是三次函數，運用了導數求三次函數的最值．如果學生直接用代替，函數將比較煩瑣，這時需要運用換元的方法，將看成一個整體，再求最值．