Question

已知y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x+x²．
（1）求x＜0時，f（x）的解析式；
（2）問是否存在這樣的非負數a，b，當x∈[a，b]時，f（x）的值域為[4a-2，6b-6]？若存在，求出所有的a，b值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設x＜0，則-x＞0，利用x≥0時，f（x）=x+x²．得到f（-x）=-x+x²，再由奇函數的性質得到f（-x）=-f（x），代換即可得到所求的解析式．
（2）假設存在這樣的數a，b．利用函數單調性的性質建立方程求參數，若能求出，則說明存在，否則說明不存在．

解答：解：（1）設x＜0，則-x＞0，于是f（-x）=-x+x²，
又f（x）為奇函數，f（-x）=-f（x），∴-f（x）=-x+x²，
即x＜0時，f（x）=x-x²．…（4分）
（2）假設存在這樣的數a，b．
∵a≥0，且f（x）=x+x²在x≥0時為增函數，…（6分）
∴x∈[a，b]時，f（x）∈[f（a），f（b）]=[4a-2，6b-6]，
∴

6b-6=f(b)=b2+b 4a-2=f(a)=a2+a

…（8分）
?

b2-5b+6=0 a2-3a+2=0

?

b=2或b=3 a=1或a=2

，即

a=1 b=2

或

a=1 b=3

…（10分）
或

a=2 b=2

或

a=2 b=3

，考慮到0≤a＜b，且4a-2＜6b-6，…（12分）
可得符合條件的a，b值分別為

a=1 b=2

或

a=1 b=3

或

a=2 b=3.

…（14分）

點評：本題考查函數奇偶性的性質以及函數的值域，解題的關鍵是利用函數的性質進行靈活代換求出解析式，第二問的解題關鍵是根據單調性建立方程求參數，此是函數中求參數常用的建立方程的方式．