Question

【題目】已知橢圓C：9x2+y2=m2（m＞0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．
（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；
（2）若l過點（ ，m），延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設直線l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），

將y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，

則判別式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，

則x1+x2= ，則xM= = ，yM=kxM+b= ，

于是直線OM的斜率kOM= = ，

即kOMk=﹣9，

∴直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值

（2）解：四邊形OAPB能為平行四邊形．

∵直線l過點（ ，m），

∴由判別式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，

即k2m2＞9b2﹣9m2，

∵b=m﹣ m，

∴k2m2＞9（m﹣ m）2﹣9m2，

即k2＞k2﹣6k，

則k＞0，

∴l不過原點且與C有兩個交點的充要條件是k＞0，k≠3，

由（1）知OM的方程為y= x，

設P的橫坐標為xP，

由 得 ，即xP= ，

將點（ ，m）的坐標代入l的方程得b= ，

即l的方程為y=kx+ ，

將y= x，代入y=kx+ ，

得kx+ = x

解得xM= ，

四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即xP=2xM，

于是 =2× ，

解得k1=4﹣ 或k2=4+ ，

∵ki＞0，ki≠3，i=1，2，

∴當l的斜率為4﹣ 或4+ 時，四邊形OAPB能為平行四邊形

【解析】（1）聯立直線方程和橢圓方程，求出對應的直線斜率即可得到結論．（2）四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即xP=2xM ， 建立方程關系即可得到結論．