Question

（本小題滿分14分）

已知函數，其中ｅ是自然數的底數，．

（1）當時，解不等式；

（2）當時，求正整數ｋ的值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解；

（3）若在［－１，１］上是單調增函數，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）   （2）1  （3）

【解析】

試題分析：⑴因為，所以不等式即為，

又因為，所以不等式可化為，

所以不等式的解集為．

⑵當時,方程即為，由于，所以不是方程的解，

所以原方程等價于，令，

因為對于恒成立，

所以在內是單調增函數，

又，， ，

所以方程有且只有1個實數根， 在區間 ，

所以整數的值為 1．

⑶，

①  當時，，在上恒成立，當且僅當時

取等號，故符合要求；

②當時，令，因為，

所以有兩個不相等的實數根，，不妨設，

因此有極大值又有極小值．

若，因為，所以在內有極值點，

故在上不單調．

若，可知，

因為的圖象開口向下，要使在上單調，因為，

必須滿足即所以.

綜上可知，的取值范圍是．

考點：利用導數求閉區間上函數的最值；函數的單調性與導數的關系．

點評：本題考查的知識是利用導數求閉區間上函數的最值，函數的單調性與導數的關系，熟練掌握導數法在求函數單調性，最值，極值的方法是解答的關鍵．