Question

如圖，已知橢圓C：

x2

36

+

y2

20

=1的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，右準(zhǔn)線為l，N為l上一點(diǎn)，且在x軸上方，AN與橢圓交于點(diǎn)M．
（1）若AM=MN，求證：AM⊥MF；
（2）過A，F(xiàn)，N三點(diǎn)的圓與y軸交于P，Q兩點(diǎn)，求PQ的最小值．

Answer 1

分析：（1）要證AM⊥MF，只需證

MA

•

MF

=0，分別求出

MA

，

MF

的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可．
（2）欲求|PQ|的范圍，需先將|PQ|用某個(gè)參數(shù)表示，再求最值，可先找到圓心坐標(biāo)和半徑，再利用圓中半徑，半弦，弦心距組成的直角三角形，得到用參數(shù)表示的|PQ|，再用均值不等式求PQ的最小值．

解答：解：（1）由題意得A（-6，0），F(xiàn)（4，0），由準(zhǔn)線l：x=

a2

c

=9，∴x_N=9，∴xM=

3

2

．
又M點(diǎn)在橢圓上，且在x軸上方，得yM=

5 3

2

，
∴

MA

=(-

15

2

，-

5 3

2

)，

MF

=(

5

2

，-

5 3

2

)．
∴

MA

•

MF

=-

75

4

+

75

4

=0．
∴AM⊥MF；
（2）設(shè)N（9，t），其中t＞0，∵圓過A，F(xiàn)，N三點(diǎn)，
∴設(shè)該圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，有

36-6D+F=0 16+4D+F=0 81+t2+9D+tE+F=0

，
解得，D=2，E=-t-

75

t

，F(xiàn)=-24．
∴圓心為(-1，

1

2

(t+

75

t

))，半徑r=

25+ 1 4 (t+ 75 t )2

．
∴|PQ|=2

r2-1

=2

24+(t+ 75 t )2

．
∵t＞0，∴t+

75

t

≥2

t• 75 t

=10

3

，當(dāng)且僅當(dāng)t=

75

t

，即當(dāng)t=5

3

時(shí)取“=”．
∴|PQ|的最小值是2

99

=6

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線，圓與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了利用數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，考查了利用基本不等式求最值，屬難題．