Question

對(duì)于數(shù)列{A_n}：A₁，A₂，A₃，…，A_n，若不改變A₁，僅改變A₂，A₃，…，A_n中部分項(xiàng)的符號(hào)，得到的新數(shù)列{a_n}稱為數(shù)列{A_n}的一個(gè)生成數(shù)列．如僅改變數(shù)列1，2，3，4，5的第二、三項(xiàng)的符號(hào)可以得到一個(gè)生成數(shù)列1，-2，-3，4，5．已知數(shù)列{a_n}為數(shù)列{

1

2n

}(n∈N*)的生成數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）寫出S₃的所有可能值；
（2）若生成數(shù)列{a_n}滿足：S3n=

1

7

(1-

1

8n

)，求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對(duì)于給定的n∈N^*，S_n的所有可能值組成的集合為：{x|x=

2m-1

2n

，m∈N*，m≤2n-1}．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)生成數(shù)列的定義，可知當(dāng)n=3時(shí)，a1=

1

2

，a₂、a₃分別在±

1

4

、±

1

8

中取值．由此給出{a_n}的所有可能的情況，即可算出S₃的所有可能值；
（2）根據(jù){a_n}的前3n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系式，可得當(dāng)n=1時(shí)S3=

1

8

，當(dāng)n≥2時(shí)a_3n-2+a_3n-1+a_3n=S_3n-S_3n-3=

1

8n

．由a_3n-2、a_3n-1、a_3n的8種組合加以推斷，可得：當(dāng)且僅當(dāng)a3n-2=

4

8n

、a3n-1=-

2

8n

且a3n=-

1

8n

時(shí)，以上相等關(guān)系可以成立．由此即可得到滿足條件的{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)命題成立；②假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)，S_k=

2m-1

2k

(m∈N*，m≤2k-1)，則當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=Sk±

1

2k+1

=

2k+1Sk±1

2k+1

=

2(2m-1)±1

2k+1

（m∈N^*，m≤2^k-1），從而證出Sk+1=

2m-1

2k+1

（m∈N^*，m≤2^k），即由n=k時(shí)命題成立可推出n=k+1時(shí)命題也成立．根據(jù)以上兩點(diǎn)，可以推斷出原命題成立．

解答：解：（1）由題意，得a1=

1

2

，|an|=

1

2n

(n∈N*，n≥2)，
∴根據(jù)生成數(shù)列的定義，可得a2=±

1

4

，a3=±

1

8

．
又∵

1

2

+

1

4

+

1

8

=

7

8

，

1

2

+

1

4

-

1

8

=

5

8

，

1

2

-

1

4

+

1

8

=

3

8

，

1

2

-

1

4

-

1

8

=

1

8

，
∴為

1

8

，

3

8

，

5

8

，

7

8

．
（2）∵S3n=

1

7

(1-

1

8n

)，
當(dāng)n=1時(shí)，a1+a2+a3=S3=

1

7

(1-

1

8

)=

1

8

，
當(dāng)n≥2時(shí)，a3n-2+a3n-1+a3n=S3n-S3n-3=

1

7

(1-

1

8n

)-

1

7

(1-

1

8n-1

)=

1

8n

∵{a_n}是{

1

2n

}(n∈N*)的生成數(shù)列
∴a3n-2=±

1

23n-2

，a3n-1=±

1

23n-1

，a3n=±

1

23n

；
可得a3n-2+a3n-1+a3n=±

1

23n-2

±

1

23n-1

±

1

23n

=

1

8n

(±4±2±1)=

1

8n

(n∈N*)，
在以上各種組合中，當(dāng)且僅當(dāng)a3n-2=

4

8n

，a3n-1=-

2

8n

，a3n=-

1

8n

(n∈N*)時(shí)，相等關(guān)系成立．
∴an=

1 2n ，n=3k-2 - 1 2n ，n≠3k-2

，k∈N*．
（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=1時(shí)，S1=

1

2

，命題成立．
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)命題成立，即S_k所有可能值集合為：{x|x=

2m-1

2k

，m∈N*，m≤2k-1}
由假設(shè)得S_k=

2m-1

2k

(m∈N*，m≤2k-1)…（13分）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=

1

2

±

1

22

±

1

23

±…±

1

2k

±

1

2k+1

=Sk±

1

2k+1

=

2k+1Sk±1

2k+1

Sk+1=

2k+1Sk±1

2k+1

=

2(2m-1)±1

2k+1

（m∈N^*，m≤2^k-1）…（15分）
即Sk+1=

2×(2m-1)-1

2k+1

或Sk+1=

2×(2m)-1

2k+1

（m∈N^*，m≤2^k-1）
即Sk+1=

2m-1

2k+1

（m∈N^*，m≤2^k）∴n=k+1時(shí)，命題成立       …（17分）
由①②，n∈N^*，S_n所有可能值集合為{x|x=

2m-1

2n

，m∈N*，m≤2n-1}．

點(diǎn)評(píng)：本題給出數(shù)列{A_n}的生成數(shù)列{a_n}的定義，求S₃的可能值并證明S_n的所有可能值組成的集合．著重考查了數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、利用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題等知識(shí)，屬于難題．同時(shí)考查了學(xué)生的計(jì)算能力、邏輯推理能力與分析問題、解決問題的能力，考查了轉(zhuǎn)化化歸與分類討論的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．