Question

【題目】已知函數f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）為奇函數，且f（ ）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．
（1）求a，θ的值；
（2）若f（ ）=﹣ ，α∈（ ，π），求sin（α+ ）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（ ）=﹣（a+1）sinθ=0，

∵θ∈（0，π）．

∴sinθ≠0，

∴a+1=0，即a=﹣1

∵f（x）為奇函數，

∴f（0）=（a+2）cosθ=0，

∴cosθ=0，θ=

（2）解：由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+ ）=cos2x（﹣sin2x）=﹣ ，

∴f（ ）=﹣ sinα=﹣ ，

∴sinα= ，

∵α∈（ ，π），

∴cosα= =﹣ ，

∴sin（α+ ）=sinαcos +cosαsin =

【解析】（1）把x= 代入函數解析式可求得a的值，進而根據函數為奇函數推斷出f（0）=0，進而求得cosθ，則θ的值可得．（2）利用f（ ）=﹣ 和函數的解析式可求得sin ，進而求得cos ，進而利用二倍角公式分別求得sinα，cosα，最后利用兩角和與差的正弦公式求得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．