Question

已知函數f（x）=ln（1+x）-ax的圖象在x=1處的切線與直線x+2y-1=0平行．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）若方程f （x）=在[2，4]上有兩個不相等的實數根，求實數m的取值范圍；（參考數據：e=2.71 828…）
（Ⅲ）設常數p≥1，數列{a_n}滿足a_n+1=a_n+ln（p-a_n）（n∈N*），a₁=lnp，求證：a_n+1≥a_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由函數f（x）=ln（1+x）-ax的圖象在x=1處的切線與直線x+2y-1=0平行，則在x=1處的導數等于直線x+2y-1=0的斜率，從而求解．
（II）由（I）有f（x）=ln（1+x）-x，先將原方程整理為4ln（1+x）-x=m．再利用圖象的交點來解決．（III）由f（x）=ln（1+x）-x（x＞-1）用導數法證明當x∈（-1，+∞）時，f（x）≤0，得到ln（1+x）≤x．再由已知有p＞a_n，構建a_n+1-a_n=ln（p-a_n）=ln（1+p-1-a_n）模型，只要再證11+p-1-a_n＞1即可
解答：解：（I）∵，
∴．
由題知，
解得a=1．（3分）

（II）由（I）有f（x）=ln（1+x）-x，
∴原方程可整理為4ln（1+x）-x=m．
令g（x）=4ln（1+x）-x，得，
∴當3＜x≤4時g'（x）＜0，當2≤x＜3時g'（x）＞0，g'（3）=0，
即g（x）在[2，3]上是增函數，在[3，4]上是減函數，
∴在x=3時g（x）有最大值4ln4-3．（6分）
∵g（2）=4ln3-2，g（4）=4ln5-4，
∴g（2）-g（4）==2．
由9e≈24.46＜25，于是．
∴g（2）＜g（4）．
∴m的取值范圍為[4ln5-4，4ln4-3）．（9分）

（III）由f（x）=ln（1+x）-x（x＞-1）有，
顯然f'（0）=0，當x∈（0，+∞）時，f'（x）＜0，當x∈（-1，0）時，f'（x）＞0，
∴f（x）在（-1，0）上是增函數，在[0，+∞）上是減函數．
∴f（x）在（-1，+∞）上有最大值f（0），而f（0）=0，
∴當x∈（-1，+∞）時，f（x）≤0，因此ln（1+x）≤x．（*）（11分）
由已知有p＞a_n，即p-a_n＞0，所以p-a_n-1＞-1．
∵a_n+1-a_n=ln（p-a_n）=ln（1+p-1-a_n），
∴由（*）中結論可得a_n+1-a_n≤p-1-a_n，即a_n+1≤p-1（n∈N^*）．
∴當n≥2時，a_n+1-a_n=ln（p-a_n）≥ln[p-（p-1）]=0，即a_n+1≥a_n．
當n=1，a₂=a₁+ln（p-lnp），
∵lnp=ln（1+p-1）≤p-1，
∴a₂≥a₁+ln[p-（p-1）]=a₁，結論成立．
∴對n∈N^*，a_n+1≥a_n．（14分）
點評：本題主要考查導數的幾何意義，用導數法解方程根的問題以及考查單調數列，綜合性很強，要注意已證結論的應用．